Question

如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個動點(diǎn)，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）探究：線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？
（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動時，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請證明，若不是，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）探究問題，也就是證明問題，可以先假設(shè)，題中OE，OF可通過平行線，角平分線確定二者之間的關(guān)系．
（2）正方形的判定問題，AECF若是正方形，則必有對角線OA=OC，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，同樣在△ABC中，當(dāng)∠ACB=90°時，可滿足其為正方形．
（3）菱形的判定問題，若使菱形，則必有四條邊相等，對角線互相垂直．

解答：（1）解：OE=OF．理由如下：
∵CE是∠ACB的角平分線，
∴∠ACE=∠BCE，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠NEC=∠ECB，
∴∠NEC=∠ACE，
∴OE=OC，
∵OF是∠BCA的外角平分線，
∴∠OCF=∠FCD，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠OFC=∠ECD，
∴∠OFC=∠COF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；

（2）△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．
∵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形．
已知MN∥BC，當(dāng)∠ACB=90°，則
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形．

（3）解：不可能．
如圖所示，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=

1

2

∠ACB+

1

2

∠ACD=

1

2

（∠ACB+∠ACD）=90°，
若四邊形BCFE是菱形，則BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在兩個角為90°，所以不存在其為菱形．

點(diǎn)評：熟練掌握菱形及正方形的性質(zhì)及判定定理，能夠解決一些簡單的運(yùn)動問題．