Question

【題目】已知點(diǎn)P是Rt△ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，分別過(guò)點(diǎn)A，B向直線(xiàn)CP作垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)Q為斜邊AB的中點(diǎn)．

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是________，QE與QF的數(shù)量關(guān)系是________；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上且不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

(溫馨提示：直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半)

Answer 1

【答案】(1)AE∥BF,QE＝QF;(2) QE=QF，理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(1)、根據(jù)AAS推出△AEQ和△BFQ全等即可得出答案；(2)、延長(zhǎng)EQ交BF于D，求出△AEQ和△BDQ全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EQ=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中點(diǎn)性質(zhì)得出即可．

試題解析：(1)、如圖1,

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是AE∥BF，QE與QF的數(shù)量關(guān)系是QE=QF,
理由：∵Q為AB的中點(diǎn)， ∴AQ=BQ， ∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，

∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，∴△AEQ≌△BFQ， ∴QE=QF；
(2)、QE=QF證明：如圖2，延長(zhǎng)EQ交BF于D,

∵由(1)知：AE∥BF， ∴∠AEQ=∠BDQ， ∴△AEQ≌△BDQ， ∴EQ=DQ，

∵∠BFE=90°， ∴QE=QF．