Question

如圖，已知點A（0，4），B（2，0）．
（1）求直線AB的函數解析式；
（2）已知點M是線段AB上一動點（不與點A、B重合），以M為頂點的拋物線y=（x-m）²+n與線段OA交于點C．
①求線段AC的長；（用含m的式子表示）
②是否存在某一時刻，使得△ACM與△AMO相似？若存在，求出此時m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線AB的函數解析式為：y=kx+b，將A、B兩點的坐標代入，運用待定系數法即可求出直線AB的函數解析式；
（2）①先由拋物線的頂點式為y=（x-m）²+n得出頂點M的坐標為（m，n），由點M是線段AB上一動點，得出n=-2m+4，則y=（x-m）²-2m+4，再求出拋物線y=（x-m）²+n與y軸交點C的坐標，然后根據AC=OA-OC即可求解；
②過點M作MD⊥y軸于點D，則D點坐標為（0，-2m+4），AD=OA-OD=2m，由勾股定理求出AM=m．在△ACM與△AMO中，由于∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，所以當△ACM與△AMO相似時，只能是△ACM∽△AMO，根據相似三角形對應邊成比例得出，即，解方程求出m的值即可．
解答：解：（1）設直線AB的函數解析式為：y=kx+b．
∵點A坐標為（0，4），點B坐標為（2，0），
∴，解得：，
即直線AB的函數解析式為y=-2x+4；

（2）①∵以M為頂點的拋物線為y=（x-m）²+n，
∴拋物線頂點M的坐標為（m，n）．
∵點M在線段AB上，∴n=-2m+4，
∴y=（x-m）²-2m+4．
把x=0代入y=（x-m）²-2m+4，
得y=m²-2m+4，即C點坐標為（0，m²-2m+4），
∴AC=OA-OC=4-（m²-2m+4）=-m²+2m；

②存在某一時刻，能夠使得△ACM與△AMO相似．理由如下：
過點M作MD⊥y軸于點D，則D點坐標為（0，-2m+4），
∴AD=OA-OD=4-（-2m+4）=2m．
∵M不與點A、B重合，∴0＜m＜2，
又∵MD=m，∴AM==m．
∵在△ACM與△AMO中，∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，
∴當△ACM與△AMO相似時，假設△ACM∽△AMO，
∴，即，
整理，得 9m²-8m=0，解得m=或m=0（舍去），
∴存在一時刻使得△ACM與△AMO相似，且此時m=．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到運用待定系數法求一次函數的解析式，二次函數的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質等知識，難度適中．利用數形結合及方程思想是解題的關鍵．