Question

如圖，已知四邊形ABCD是矩形，且MO=MD=4，MC=3．
（1）求直線BM的解析式；
（2）求過A、M、B三點的拋物線的解析式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點P，使△PMB構成以BM為直角邊的直角三角形？若沒有，請說明理由；若有，則求出一個符合條件的P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）（2）根據MO=MD=4，MC=3就可以求出A、M、B三點的作坐標，根據待定系數法就可以求出直線BM的解析式與拋物線的解析式．
（3）過M、B作MB的垂線，它與拋物線的交點即為P點，因而符合條件的P點是存在的．當∠PMB=90°時，過P作PH⊥DC交于H，則
易證△MPH∽△BMC，得到PH：HM=CM：CB=3：4，因而可以設HM=4a（a＞0），則PH=3a，則P點的坐標為（-4a，4-3a）．
將P點的坐標代入y=-

1

3

x²-

1

3

x+4就可以求出a的值，進而求出P點的坐標．

解答：解：（1）∵MO=MD=4，MC=3，
∴M、A、B的坐標分別為（0，4），（-4，0），（3，0）
設BM的解析式為y=kx+b；
則

4=k×0+b 0=k×3+b

?

k=- 4 3 b=4

，
∴BM的解析式為y=-

4

3

x+4．（3分）

（2）方法一：
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（4分）
則

0=16a-4b+c 0=9a+3b+c 4=c

，
解得a=b=-

1

3

，c=4
∴y=-

1

3

x²-

1

3

x+4（6分）
方法二：
設拋物線的解析式為y=a（x+4）（x-3）（4分）
將M（0，4）的坐標代入得a=-

1

3

∴y=-

1

3

（x+4）（x-3）=-

1

3

x²-

1

3

x+4（6分）

（3）設拋物線上存在點P，使△PMB構成直角三角形．（7分）
①過M作MB的垂線與拋物線交于P，過P作PH⊥DC交于H，
∴∠PMB=90°，
∴∠PMH=∠MBC，
∴△MPH∽△BMC，（8分）
∴PH：HM=CM：CB=3：4
設HM=4a（a＞0），則PH=3a
∴P點的坐標為（-4a，4-3a）
將P點的坐標代入y=-

1

3

x²-

1

3

x+4得：
4-3a=-

1

3

（-4a）²-

1

3

×（-4a）+4
解得a=0（舍出），a=

13

16

，（9分）
∴P點的坐標為（-

13

4

，

25

16

）（10分）
②或者，拋物線上存在點P，使△PMB構成直角三角形．（7分）
過M作MB的垂線與拋物線交于P，設P的坐標為（x₀，y₀），
由∠PMB=90°，∠PMD=∠MBC，
過P作PH⊥DC交于H，則MH=-x₀，PH=4-y₀（8分）
∴由tan∠PMD=tan∠MBC
得

4-y0

-x0

=

3

4

，
∴y0=

3

4

x0+4（9分）
∴

3

4

x0+4=-

1

3

x02-

1

3

x0+4?x0=-

13

4

，x₀=0（舍出）
∴y0=

3

4

×(-

13

4

)+4=

25

16

，
∴P點的坐標為（-

13

4

，

25

16

）（10分）
類似的，如果過B作BM的垂線與拋物線交于點P，
設P的坐標為（x₀，y₀），
同樣可求得y0=

3

4

x0-

9

4

，
由

3

4

x0-

9

4

=-

1

3

x02-

1

3

x0+4?x0=-

25

4

，x₀=3（舍出）
這時P的坐標為（-

25

4

，-

111

16

）．

點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式．是函數與相似三角形相結合的綜合題．