Question

如圖，已知正△ABC的頂點B（1，0），C（3，0），過原點O的直線分別與邊AB，AC交于點M、N，若OM=MN，則點M的坐標為（　　）

• A．(

  5

  2

  ，

  1

  2

  )
• B．(

  5

  2

  ，

  3

  2

  )
• C．(

  5

  4

  ，

  3

  2

  )
• D．(

  5

  4

  ，

  3

  4

  )

Answer 1

分析：從OM=MN結合點B和點C的坐標求得AN等于1，并結合等邊△ABC點B和點C的坐標，從而求得點M坐標．

解答：解：∵B（1，0），C（3，0），
∴OB=1，OC=3，
∴BC=2，
過點N作EN∥OC交AB于E，過點A作AD⊥BC于D，NF⊥BC于F，
∴∠ENM=∠BOM，
∵OM=NM，∠EMN=∠BMO，
∴△ENM≌△BOM，
∴EN=OB=1，
∵△ABC是正三角形，
∴AD=

3

，BD=

1

2

BC=1，
∴OD=2，
∴A（2，3），
∴△AEN也是正三角形，
∴AN=EN=1，
∴AN=CN，
∴N(

5

2

，

3

2

)；
∴M（

5

2

×

1

2

，

3

2

×

1

2

）（OM=NM，即點M是ON的中點），即M(

5

4

，

3

4

)；
故選D．

點評：本題考查等邊三角形的性質，解題時，根據OM=MN得到線段間的數量關系，從而解得AN得1，進而求得點M的坐標．