Question

如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點G，F，AE與FG交于點O．
（1）如圖1，求證：A，G，E，F四點圍成的四邊形是菱形；
（2）如圖2，當△AED的外接圓與BC相切于點N時，求證：點N是線段BC的中點；
（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據折疊的性質判斷出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，從而判斷出EF=AG，得出四邊形AGEF是平行四邊形，繼而結合AG=GE，可得出結論．
（2）連接ON，則ON⊥BC，從而判斷出ON是梯形ABCE的中位線，繼而可得出結論．
（3）作OM⊥AD，設DE=x，則MO=x，表示出AE、DE，在RT△ADE中，利用勾股定理可解出x，繼而可得出折痕FG的長度．
解答：解：（1）由折疊的性質可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，
∵DC∥AB，
∴∠EFG=∠AGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG=AG，
∴四邊形AGEF是平行四邊形（EF∥AG，EF=AG），
又∵AG=GE，
∴四邊形AGEF是菱形．

（2）連接ON，

∵△AED是直角三角形，AE是斜邊，點O是AE的中點，△AED的外接圓與BC相切于點N，
∴ON⊥BC，
∵點O是AE的中點，
∴ON是梯形ABCE的中位線，
∴點N是線段BC的中點．

（3）作OM⊥AD，

設DE=x，則MO=x，
在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，
故AE為△AED的外接圓的直徑．
延長MO交BC于點N，則ON∥CD，
∵四邊形MNCD是矩形，
∴MN=CD=4，
∴ON=MN-MO=4-x，
∵△AED的外接圓與BC相切，
∴ON是△AED的外接圓的半徑，
∴OE=ON=4-x，AE=8-x，
在Rt△AED中，AD²+DE²=AE²，
∴2²+x²=（8-x）²，
得x=DE=，OE=4-x=，
∵△FEO∽△AED，
∴=，
解得：FO=，
∴FG=2FO=．
故折痕FG的長是．
點評：此題考查了翻折變換的知識，涉及了菱形的判定，難點在第三問，關鍵在于得出ON、OE均是△AED的外接圓的半徑，難度較大．