Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，點G是BC延長線上一點，連接AG，分別交BD、CD于點E、F．
（1）求證：∠DAE=∠DCE；
（2）當CG=CE時，試判斷CF與EG之間有怎樣的數量關系？并證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：在△DAE和△DCE中，
∠ADE=∠CDE（正方形的對角線平分對角），
ED=DE（公共邊），
AE=CE（正方形的四條邊長相等），
∴△DAE≌△DCE （SAS），
∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的對應角相等）；

（2）解：如圖，由（1）知，△DAE≌△DCE，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ECA（等邊對等角）；
又∵CG=CE（已知），
∴∠G=∠CEG（等邊對等角）；
而∠CEG=2∠EAC（外角定理），
∠ECB=2∠CEG（外角定理），
∴4∠EAC-∠ECA=∠ACB=45°，
∴∠G=∠CEG=30°；
過點C作CH⊥AG于點H，
∴∠FCH=30°，
∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，
在直角△FCH中，CH=CF，
∴EG=2×CF=3CF．
分析：（1）通過全等三角形的判定定理SAS判定△DAE≌△DCE，然后根據全等三角形的對應角相等知∠DAE=∠DCE；
（2）如圖，由∠CEG=2∠EAC，∠ECB=2∠CEG可得，4∠EAC-∠ECA=∠ACB=45°，得∠G=∠CEG=30°；根據直角三角形中特殊角的三角函數值，可得在直角△ECH中，EH=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，代入可得出．
點評：本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質及特殊角的三角函數值，本題綜合比較強，考查了學生對于知識的綜合運用能力．