Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．點O是AC的中點，過點O的直線l從與AC重合的位置開始，繞點O作逆時針旋轉，交AB邊于點D，過點C作CE∥AB交直線l于點E，設直線l的旋轉角為α．
（1）①當α=______度時，四邊形EDBC是等腰梯形，此時AD的長為______；
②當α=______度時，四邊形EDBC是直角梯形，此時AD的長為______；
（2）當α=90°時，判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據旋轉的性質和等腰梯形的性質，①假設四邊形EDBC是等腰梯形，根據題目已知條件及外角和定理可求α，AD；②假設四邊形EDBC是直角梯形，根據題目已知條件及內角和定理可求α，AD．
（2）根據∠α=∠ACB=90°先證明四邊形EDBC是平行四邊形．再利用Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2求得AB，AC，AO的長度；在Rt△AOD中，∠A=30°，AD=2，可求BD，比較得BD=BC，可證明四邊形EDBC是菱形．
解答：解：（1）①當四邊形EDBC是等腰梯形時，
∵∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°，
∴α=∠EDB-∠A=30°，
∴△ADO是等腰三角形，
∴AD=OD，
過點O作OF∥BC，
∵BC⊥AC，
∴OF⊥AC，
∴OF是△ABC的中位線，
∴OF=BC=1，
∵α=∠EDB-∠A=30°，
∴∠ODF=60°=∠DOF=60°，
∴△ODF是等邊三角形，
∴OD=OF=DF=1，
∵∠A=∠α=30°，
∴AD=OD=1；

②當四邊形EDBC是直角梯形時，∠ODA=90°，而∠A=30°，
根據三角形的內角和定理，得α=90°-∠A=60°，此時，AD=AC×=1.5．

（2）當∠α=90°時，四邊形EDBC是菱形．
∵∠α=∠ACB=90°，
∴BC∥ED，
∵CE∥AB，
∴四邊形EDBC是平行四邊形．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠A=30°，
∴AB=4，AC=2，
∴AO==．
在Rt△AOD中，∠A=30°，OD=AD，
AD==，
∴AD=2，
∴BD=2，
∴BD=BC．
又∵四邊形EDBC是平行四邊形，
∴四邊形EDBC是菱形．
點評：解決此問題，既要弄清等腰梯形、直角梯形及菱形的判定，又要掌握有關旋轉的知識，在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，也是解決問題的關鍵．