Question

如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分別為垂足．

（1）已知：∠APC=90°，求證：△ABP∽△PDC．
（2）已知：AB=2，CD=3，BD=7，點P是線段BD上的一動點，若使點P分別與A、B和C、D構成的兩個三角形相似，求線段PB的值．
（3）已知：AB=2，CD=3，點P是直線BD上的一動點，設PB=x，BD=y，使點P分別與A、B和C、D構成的兩個三角形相似，求y關于x的函數解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AB⊥BD，CD⊥BD，可知∠B與∠D為直角，又∠APC=90°，則∠APB+∠CPD=90°，可以得出∠A=∠CPD，從而證出△ABP∽△PDC．
（2）設PB=x，則PD為（7-x），然后分兩種情況討論：①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．據此，即可利用相似三角形的性質列出比例式，從而求出線段PB的值．
（3）分兩種情況討論：①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．據此，即可利用相似三角形的性質列出含x、y的比例式，從而求出y關于x的函數解析式．
解答：解：（1）證明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°①，
∴∠A+∠APB=90°，
又∵∠APB+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD②，
∴由①②，△ABP∽△PDC．

（2）設PB=x，則PD為（7-x），
①△ABP∽△PDC時，
，
即，
解得，（x-1）（x-6）=0，
x=1或x=6，
②△ABP∽△CDP．
，
即，
解得x=．
綜上所述，PB=1，或PB=6，或PB=．

（3）①△ABP∽△PDC時，
，
即，
整理得，y=x+；
②△ABP∽△CDP．
，

整理得，y=x．
③△ABP∽△PDC時，
，
∵PD=PB-BD=x-y，
，
y=-x．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，三道題步步深入，前一道題為后面的題提供思路，要注意這一點，同時題目也體現了分類討論思想的重要作用．