Question

【題目】已知：如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，，，動點從點出發，沿射線方向以每秒2個單位長度的速度運動；同時，動點從點出發，沿軸正半軸方向以每秒1個單位長度的速度運動，設點、點的運動時間為

（1）當時，求經過點，，三點的拋物線的解析式；

（2）當時，求的值；

（3）當線段與線段相交于點，且時，求的值；

（4）連接，當點，在運動過程中，記△與矩形重疊部分的面積為，求與的函數關系式

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x；（2）；（3）t為3s；（4）S=

【解析】

（1）可求得P點坐標，由O、P、A的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）當t＝2s時，可知P與點B重合，在Rt△ABQ中可求得tan∠QPA的值；

（3）用t可表示出BP和AQ的長，由△PBM∽△QAM可得到關于t的方程，可求得t的值；

（4）當點Q在線段OA上時，S＝S△CPQ；當點Q在線段OA上，且點P在線段CB的延長線上時，由相似三角形的性質可用t表示出AM的長，由S＝S四邊形BCQM＝S矩形OABCS△COQS△AMQ，可求得S與t的關系式；當點Q在OA的延長線上時，設CQ交AB于點M，利用△AQM∽△BCM可用t表示出AM，從而可表示出BM，S＝S△CBM，可求得答案．

解：（1）當t=1s時，則CP=2，

∵OC=3，四邊形OABC是矩形，

∴P（2，3），且A（4，0），

∵拋物線過原點O，

∴可設拋物線解析式為y=ax2+bx，

∴，解得，

∴過O、P、A三點的拋物線的解析式為y=﹣x2+3x；

（2）當t=2s時，則CP=2×2=4=BC，即點P與點B重合，OQ=2，如圖1，

∴AQ=OA﹣OQ=4﹣2=2，且AP=OC=3，

∴tan∠QPA==；

（3）當線段PQ與線段AB相交于點M，則可知點Q在線段OA上，點P在線段CB的延長線上，如圖2，

則CP=2t，OQ=t，

∴BP=PC﹣CB=2t﹣4，AQ=OA﹣OQ=4﹣t，

∵PC∥OA，

∴△PBM∽△QAM，

∴，且BM=2AM，

∴=2，解得t=3，

∴當線段PQ與線段AB相交于點M，且BM=2AM時，t為3s；

（4）當0≤t≤2時，如圖3，

由題意可知CP=2t，

∴S=S△PCQ=×2t×3=3t；

當2＜t≤4時，設PQ交AB于點M，如圖4，

由題意可知PC=2t，OQ=t，則BP=2t﹣4，AQ=4﹣t，

同（3）可得=，

∴BM=AM，

∴3﹣AM=AM，解得AM=，

∴S=S四邊形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ=3×4﹣×t×3﹣×（4﹣t）×=24﹣﹣3t；

當t＞4時，設CQ與AB交于點M，如圖5，

由題意可知OQ=t，AQ=t﹣4，

∵AB∥OC，

∴，即=，解得AM=，

∴BM=3﹣，

∴S=S△BCM=×4×；

綜上可知S=．