Question

如圖，在△ABC中，BC=3，S_△ABC=3，B₁C₁所在四邊形是△ABC的內接正方形，則B₁C₁的長為

6

5

； 若B₂C₂所在四邊形是△AB₁C₁的內接正方形，B₃C₃所在四邊形是△AB₂C₂的內接正方形，依此類推，則B_nC_n的長為

3×(

2

5

)n

．

Answer 1

分析：過點A作AD⊥BC于點D，交B₁C₁于點E，交B₂C₂于點F，由B₁C₁所在四邊形是△ABC的內接正方形，易證得△AB₁C₁∽△ABC，由在△ABC中，BC=3，S_△ABC=3，可求得高AD的長，然后由相似三角形對應高的比等于相似比，求得B₁C₁的長，同理可求得B₂C₂與B₃C₃的長，觀察即可得規律：B_nC_n=3×(

2

5

)n

解答：解：過點A作AD⊥BC于點D，交B₁C₁于點E，交B₂C₂于點F，
∵B₁C₁所在四邊形是△ABC的內接正方形，
∴B₁C₁∥BC，AD⊥B₁C₁，ED=B₁C₁，
∴△AB₁C₁∽△ABC，
∵在△ABC中，BC=3，S_△ABC=3，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×3AD=3，
∴AD=2．
設B₁C₁=x，則AE=2-x，
∵△AB₁C₁∽△ABC，
∴

AE

AD

=

B1C1

BC

，即

2-x

2

=

x

3

，
解得，x=

6

5

．
同理：△AB₂C₂∽△AB₁C₁，
∴

AF

AE

=

B2C2

B1C1

，
∵AE=2-

6

5

=

4

5

，
∴設B₂C₂=y，則AF=

4

5

-y，
∴y=

12

25

，
即B₂C₂=

12

25

=3×(

2

5

)2，
同理：B₃C₃=3×(

2

5

)3；
∴B_nC_n=3×(

2

5

)n；
故答案是：

6

5

；3×(

2

5

)n．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質與正方形的性質．此題難度較大，屬于規律性題目，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．