Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3經過點N（2，-5），過點N作x軸的平行線交此拋物線左側于點M，MN=6．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點P（x，y）為此拋物線上一動點，連接MP交此拋物線的對稱軸于點D，當△DMN為直角三角形時，求點P的坐標；

（3）設此拋物線與y軸交于點C，在此拋物線上是否存在點Q，使∠QMN=∠CNM？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=-x2-2x+3．(2) 點P的坐標為（1，0）或（3，-12）．(3) 存在點Q，使∠QMN=∠CNM，點Q的坐標為（-2，3）或（6，-45）．

【解析】

試題分析：（1）根據MN平行x軸，MN=6，點N坐標為（2，-5），可得出點M的坐標，然后利用待定系數法求解函數解析式即可；

（2）設拋物線的對稱軸x=-1交MN于點G，此時拋物線的對稱軸是MN的中垂線，根據△DMN為直角三角形，可得出D1及D2的坐標，分別求出MD1及MD2的函數解析式，結合拋物線可得出點P的坐標；

（3）分兩種情況進行討論，①點Q在MN上方，②點Q在MN下方，然后根據兩角相等，利用三角函數建立方程，解出x的值后檢驗即可得出答案．

試題解析：（1）由題意得，MN平行x軸，MN=6，點N坐標為（2，-5），

故可得點M坐標為（-4，-5），

∵y=ax2+bx+3過點M（-4，-5）、N（2，-5），

∴可得，

解得：，

故此拋物線的解析式為y=-x2-2x+3．

（2）設拋物線的對稱軸x=-1交MN于點G，

若△DMN為直角三角形，則，

可得D1（-1，-2），D2（-1，-8），

從而可求得直線MD1解析式為；y=x-1，直線MD2解析式為：y=-x-9，

將P（x，-x2-2x+3）分別代入直線MD1，MD2的解析式，

得-x2-2x+3=x-1①，-x2-2x+3=-x-9②、

解①得 x1=1，x2=-4（舍），

即P1（1，0）；

解②得 x3=3，x4=-4（舍），

即P2（3，-12）；

故當△DMN為直角三角形時，點P的坐標為（1，0）或（3，-12）．

（3）設存在點Q（x，-x2-2x+3），使得∠QMN=∠CNM，

①若點Q在MN上方，過點Q作QH⊥MN，交MN于點H，

則QH=-x2-2x+3+5，MH=（x+4）、

故，即-x2-2x+3+5=4（x+4）、

解得x1=-2，x2=-4（舍），

故可得點Q1（-2，3）；

②若點Q在MN下方，

同理可得Q2（6，-45）．

綜上可得存在點Q，使∠QMN=∠CNM，點Q的坐標為（-2，3）或（6，-45）．