Question

【題目】如圖，已知拋物線經過的三個頂點，其中點，點，軸，點是直線下方拋物線上的動點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點且與軸平行的直線與直線，分別交于點，，當四邊形的面積最大時，求點的坐標；

（3）當點為拋物線的頂點時，在直線上是否存在點，使得以，，為頂點的三角形與相似，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標是；（3）滿足條件的點有兩個，坐標分別是或.

【解析】

（1）根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據平行于x軸的直線上點的縱坐標相等，可得C點的縱坐標，根據自變量與函數值的對應關系，可得C點坐標，根據待定系數法，可得AB的解析式，根據直線上的點滿足函數解析式，可得E點坐標，根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PE的長，根據面積的和差，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案；

（3）根據等腰直角三角形的性質，可得∠PCF=∠EAF，根據相似三角形的判定，可得關于t的方程，根據解方程，可得答案．

解：（1）把點，的坐標代入，

得，解得.

∴拋物線的解析式是.

（2）∵軸，，

由，解得，（舍），

∴.

設直線的解析式是，

由，解得.

則直線的解析式是.

設點的坐標為，

則點的坐標為，.

∵，，

∴

.

又∵，

則當時，四邊形的面積的最大值是，

此時點的坐標是.

（3）由，得頂點的坐標是，此時，，

則在中，，∴.

同理可求，∴，

∴在直線上存在滿足條件的，如圖或.

可求，，，

①當時，設，

由，得，解得.

②當，設，

由，得，解得.

綜上，滿足條件的點有兩個，坐標分別是或.