Question

（1997•貴陽）已知：二次函數y=ax²+bx+c的圖象過P（0，8），A（2，-6），B（3，-10）這三點． 
（1）求這個二次函數的解析式．
（2）設該二次函數圖象與x軸交于M和N兩點，請在x軸上方圖象上找出點H，使面積S_△PMN=2S_△HMN．求H點的坐標．

Answer 1

分析：（1）將點P、A、B的坐標分別代入已知函數解析式，列出關于系數a、b、c的方程組，通過解方程組來求二次函數解析式；
（2）首先，根據拋物線解析式求得點P的坐標，即△PMN的高線長度為8；
然后，由三角形的面積公式、已知條件S_△PMN=2S_△HMN求得△HMN的高為4．故設圖象上H點的坐標為（a，4）；
最后，由二次函數圖象上點的坐標特征求得點H的坐標即可．

解答：解：（1）∵y=ax²+bx+c的圖象過P（0，8），A（2，-6），B（3，-10）三點，
∴

8=c -6=4a+2b+c -10=9a+3b+c

，
解得

a=1 b=-9 c=8

．
∴該二次函數解析式為：y=x²-9x+8；

（2）∵由（1）知，該二次函數解析式是y=x²-9x+8，則該拋物線與y軸的交點P（0，8）．
∴△PMN的高線長度為8．
∵△HMN與△PMN的同底三角形，且S_△PMN=2S_△HMN．
∴△HMN的高為4．
設圖象上H點的坐標為（a，4）．
則4=a²-9a+8，
解得，a₁=

9- 65

2

，a₂=

9+ 65

2

，
∴H點的坐標為：（

9- 65

2

，4）或（

9+ 65

2

，4）．
答：H點的坐標為（

9- 65

2

，4）或（

9+ 65

2

，4）．

點評：本題考查了待定系數法求二次函數的解析式和三角形的面積．熟練掌握二次函數圖象與x軸，y軸交點的意義．