Question

6．觀察下列等式：
第1個等式：a₁=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）；
第2個等式：a₂=$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）；
第3個等式：a₃=$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）；
第4個等式：a₄=$\frac{1}{7×9}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）…
請解答下列問題：
（1）用含有n（n為正整數）的式子表示第n個等式；
（2）求a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₀₀的值．

Answer 1

分析 （1）由已知等式知，連續奇數乘積的倒數等于各自倒數差的一半，據此可得；
（2）根據以上規律可得原式=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{199}$-$\frac{1}{201}$）=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{199}$-$\frac{1}{201}$），即可得出答案．

解答 解：（1）由已知等式知，連續奇數乘積的倒數等于各自倒數差的一半，
∴第n個等式為$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）；

（2）原式=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{199}$-$\frac{1}{201}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{199}$-$\frac{1}{201}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{201}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{200}{201}$
=$\frac{100}{201}$．

點評 本題主要考查數字的變化規律，根據題意得出連續奇數乘積的倒數等于各自倒數差的一半且掌握裂項求和是解題的關鍵．