Question

（1）填空：我們知道一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有兩根x₁，x₂，則x₁+x₂=______，x₁x₂=______
（2）請運用上面你發現的結論，解答問題：已知x₁，x₂是方程x²-x-1=0的兩根，不解方程求下列式子的值：①x₁²+x₂²； ②（x₁+1）（x₂+1）；
（3）α、β是關于x的方程4x²-4mx+m²+4m=0的兩個實根，并且滿足（α-1）（β-1）-1=，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由韋達定理即可得出答案．
（2）先求出x₁+x₂，x₁x₂后對所求代數式進行變形即可求解．
（3）根據韋達定理先求出α+β與αβ，然后代入求解．
解答：解：（1）由韋達定理得：x₁+x₂=，x₁x₂=，
故答案為：，．

（2）∵x₁，x₂是方程x²-x-1=0的兩根，∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-1，
①x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1+2=3；
②（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=-1+1+1=1．

（3）∵α、β是關于x的方程4x²-4mx+m²+4m=0的兩個實根，
∴α+β=m，αβ=，
∵（α-1）（β-1）-1=，
∴αβ-（α+β）+1-1=，
即：-m=，化簡得：m²=，
故m=，又△=16m²-16m²-16m≥0，解得：m≤0，
故m=．
點評：本題考查了根與系數的關系，屬于基礎題，關鍵是要熟記x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-，x₁x₂=．