Question

將兩個完全相同的含有 30°角的直角三角板如圖所示放置，其中∠DAC = 30°，∠ACD=90°，AD = 8，點M為 AC中點，動點E從點C出發沿CB方向運動到點B停止，連接EM并延長交AD于點 F。
(1)四邊形ABCD 的面積為________；
(2)當 CE =_______時，四邊形DCEF為等腰梯形，  當 CE =_______時，四邊形DCEF為直角梯形；
(3)當∠EMC= 90°時，判斷四邊形DCEF的形狀，并說明理由；
(4)連接BF，在點 E的運動過程中，是否存在△BEF為等腰三角形？如果存在，求出 CE 的長；如果不存在，說明理由。

Answer 1

解：(1)       (2)2  3           (3 )當∠EMC = 90 °時，四邊形DCEF是菱形。 理由：如圖1， ∵∠EMC=∠ACD = 90°， ∴DC//EF， ∵∠BCA=∠DAC =30 °， ∴CB//AD， ∴四邊形DCEF是平行四邊形。 在Rt△ACD中， ∵AD = 8， ∴CD = AD·sin 30°=4，AC=， ∵ 點M為 AC中點， ∴CM =。 在Rt△BMC中， ∵ cos∠ECM = ， ∴CE = ， ∴ CE =CD， ∴四邊形DCEF是菱形。  (4)存在。      如圖2，過點 B作BG⊥AD于點 G， 則 AG = 2，BG =， 過點E作EH⊥AD于點H，設CE = x， 則HF =8 - 2 - x -x = 6-2x，BE = 8-x， ，， 當EB = EF時，有， 解得xl =4，(不合題意，舍去)； 當EB = BF時，有，解得； 當EF = BF時，有， 解得，x2 = 8(不合題意，舍去)。 ∴當CE的長為4、或時，     △BEF為等腰三角形。