Question

如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是上一點（不與C，D重合），∠CPD與∠COB有何大小關系？試說明理由；
（2）點P'在上（不與C，D重合）時，∠CP'D與∠COB又有什么數量關系？為什么？

Answer 1

【答案】分析：1、根據垂徑定理知，弧CD=2弧BC，由圓周角定理知，弧BC的度數等于∠BOC的度數，弧AD的度數等于∠CPD的2倍，
可得：∠CPD=∠COB；
2、根據圓內接四邊形的對角互補知，∠CP′D=180°-∠CPD，而：∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°．
解答：（1）∠CPD=∠COB．…（1分）
理由：如圖所示，連接OD．…（2分）
∵AB是直徑，AB⊥CD，∴=，…（3分）
∴∠COB=∠DOB=∠COD．…（4分）
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠CPD=∠COB…（5分）

（2）∠CP'D與∠COB的數量關系是∠CP'D+∠COB=180°…（6分）
理由：∵∠CPD=∠COD，∠CP'D=（360°-∠COD）=180°-∠COD，
∴∠CPD+∠CP'D=180°．…（8分）
由（1）知，∠CPD=∠COB，∴∠CP'D+∠COB=180°．…（9分）
點評：本題利用了垂徑定理和圓周角定理及圓內接四邊形的性質求解．