Question

如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，點E、F分別是邊AB、BC的中點，點P在AC上運動，在運動過程中，存在PE+PF的最小值，則這個最小值是

5

．

Answer 1

分析：AC交BD于O，作E關于AC的對稱點N，連接NF，交AC于P，則此時EP+FP的值最小，根據菱形的性質推出N是AD中點，P與O重合，推出PE+PF=NF=AB，根據勾股定理求出AB的長即可．

解答：
解：AC交BD于O，
作E關于AC的對稱點N，連接NF，交AC于P，則此時EP+FP的值最小，
∴PN=PE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，AD∥BC，
∵E為AB的中點，
∴N在AD上，且N為AD的中點，
∵AD∥CB，
∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，
∵AD=BC，N為AD中點，F為BC中點，
∴AN=CF，
在△ANP和△CFP中

∠ANP=∠CFP AN=CF ∠NAP=∠CFP

，
∴△ANP≌△CFP（ASA），
∴AP=CP，
即P為AC中點，
∵O為AC中點，
∴P、O重合，
即NF過O點，
∵AN∥BF，AN=BF，
∴四邊形ANFB是平行四邊形，
∴NF=AB，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=

1

2

AC=3，BO=

1

2

BD=4，
由勾股定理得：AB=

AO2+BO2

=5，
故答案為：5．

點評：本題考查了軸對稱-最短問題，勾股定理，菱形的性質等知識點的應用，關鍵是理解題意確定出P的位置和求出AB=NF=EP+FP，題目比較典型，綜合性比較強，主要培養學生的計算能力．