Question

（2013•紹興模擬）如圖，在平面直角坐標系中，A（1，0）、B（5，0）、C（6，3）、D（0，3），點P為線段CD上一點，且∠APB=45°，則點P的坐標為

（3+

7

，3）或（3-

7

，3）

．

Answer 1

分析：首先作等腰直角三角形ABE，使得∠AEB=90°，過點E作MN⊥AB于M，交CD于N，易得點P在以E為圓心，AE長為半徑的圓與CD的交點，即PE=AE，然后利用等腰直角三角形的性質與勾股定理，即可求得點P的坐標．

解答：解：作等腰直角三角形ABE，使得∠AEB=90°，過點E作MN⊥AB于M，交CD于N，
∴AM=BM=

1

2

AB，
∵∠APB=45°=

1

2

∠AEB，
∴點P在以E為圓心，AE長為半徑的圓與CD的交點，
即PE=AE，
∵A（1，0）、B（5，0），
∴AB=4，
∴AE=AB•cos45°=

2

2

×4=2

2

，
∴PE=2

2

，EM=AE•sin45°=

2

2

×2

2

=2，
∵C（6，3）、D（0，3），
∴CD∥OB，CD=6，
∴MN⊥CD，
∵OD⊥CD，OD⊥OB，
∴四邊形OMND是矩形，
∴DN=OM=OA+AM=1+

1

2

AB=1+2=3，MN=OD=3，
∴EN=MN-EM=3-2=1，
在Rt△PNE中，PN=

PE2-EN2

=

(2 2 )2-1

=

7

，
∴點P的坐標為：（3+

7

，3）或（3-

7

，3）．
故答案為：（3+

7

，3）或（3-

7

，3）．

點評：此題考查了圓周角定理、等腰直角三角形的性質以及勾股定理．此題難度較大，解題的關鍵是準確作出輔助線，注意數形結合思想的應用．