Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸、軸分別相交于點A（－1，0）和B（0，3），其頂點為D．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）若拋物線與軸的另一個交點為E，求△ODE的面積；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P使得△PAB的周長最短．若存在請求出點P的坐標，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）S△ODE=6；（3）點P坐標（1，2）.

【解析】

（1）將A（-1，0）、B（0，3）分別代入y=-x2+bx+c，解方程組求得b、c的值，即可求得拋物線的解析式；（2）先求得點D、點E的坐標，再根據三角形的面積公式即可求解；（3）連接BE交直線x=1于點P，此時PA+PB的值最小，由此求得點P的坐標即可.

（1）解：根據題意得，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3

（2）解：當y=0時，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，則E（3，0）；

∵拋物線y=﹣（x﹣1）2 + 4的頂點坐標D（1，4），

∴S△ODE=×3×4=6；

（3）連接BE交直線x=1于點P，如圖，

由對稱性知PA=PE，

∴PA+PB=PE+PB=BE，

此時PA+PB的值最小，

求得直線BE的解析式為 y=﹣x+3

當x=1時，y=﹣x+3=3，

∴點P坐標（1，2）.