Question

如圖，某商標是由邊長均為2的正三角形、正方形、正六邊形的金屬薄片鑲嵌而成的鑲嵌圖案．
（1）求這個鑲嵌圖案中一個正三角形的面積；
（2）如果在這個鑲嵌圖案中隨機確定一個點O，那么點O落在鑲嵌圖案中的正方形區域的概率為多少？（結果保留二位小數）

Answer 1

分析：（1）過A作AD⊥BC于D，根據等邊△ABC，得到BD=

1

2

BC，由勾股定理求出AD=

3

2

，根據△ABC的面積是

1

2

BC•AD代入即可求出答案；
（2）由圖形得到由10個正三角形，11個正方形，2個正六邊形，分別求出三個圖形的面積，即可求出點O落在鑲嵌圖案中的正方形區域的概率．

解答：解：（1）過A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等邊三角形，BC=2，
∴BD=CD=

1

2

BC=1，
在△BDA中由勾股定理得：AD=

AB2-BD2

=

22-12

=

3

，
∴△ABC的面積是

1

2

BC•AD=

1

2

×2×

3

=

3

，
答：這個鑲嵌圖案中一個正三角形的面積是

3

．

（2）由圖形可知：由10個正三角形，11個正方形，2個正六邊形，正方形的面積是2×2=4，
連接OA、OB，
∵圖形是正六邊形，
∴△OAB是等邊三角形，且邊長是2，
即等邊三角形的面積是

3

，
∴正六邊形的面積是6×

3

=6

3

，
∴點O落在鑲嵌圖案中的正方形區域的概率是

11×4

10× 3 +2× 6 3 +11×4

≈0.54，
答：點O落在鑲嵌圖案中的正方形區域的概率約為0.54．

點評：本題主要考查對正多邊形與圓，等邊三角形的性質和判定，幾何概率，勾股定理，平面鑲嵌等知識點的理解和掌握，能根據性質進行計算是解此題的關鍵．