Question

【題目】（本題滿分10分）在ABCD中，AC、BD交于點O，過點O作直線EF、GH，分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點，連結EG、GF、FH、HE．

（1）如圖①，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由；

（2）如圖②，當EF⊥GH時，四邊形EGFH的形狀是 ；

（3）如圖③，在（2）的條件下，若AC=BD，四邊形EGFH的形狀是 ；

（4）如圖④，在（3）的條件下，若AC⊥BD，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形（2）菱形（3）菱形（4）正方形

【解析】

試題（1）由于平行四邊形對角線的交點是它的對稱中心，即可得出OE=OF、OG=OH；根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可判斷出EGFH的形狀；

（2）當EF⊥GH時，平行四邊形EGFH的對角線互相垂直平分，故四邊形EGFH是菱形；

（3）當AC=BD時，對四邊形EGFH的形狀不會產生影響，故結論同（2）；

（4）當AC=BD且AC⊥BD時，四邊形ABCD是正方形，則對角線相等且互相垂直平分；

可通過證△BOG≌△COF，得OG=OF，從而證得菱形的對角線相等，根據對角線相等的菱形是正方形即可判斷出EGFH的形狀．

試題解析：解：（1）四邊形EGFH是平行四邊形．

證明：∵ ABCD的對角線AC、BD交于點O．

∴點O是ABCD的對稱中心．

∴EO=FO，GO=HO．

∴四邊形EGFH是平行四邊形．

（2）菱形．

（3）菱形．

（4）四邊形EGFH是正方形．

∵AC=BD，

∴ABCD是矩形．

又∵AC⊥BD，

∴ABCD是菱形．

∴ABCD是正方形，

∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC．

∵EF⊥GH ，

∴∠GOF=90°．

∴∠BOG=∠COF．

∴△BOG≌△COF．

∴OG=OF，

∴GH=EF．

由（1）知四邊形EGFH是平行四邊形，

又∵EF⊥GH，EF=GH．

∴四邊形EGFH是正方形．