Question

如圖，以邊長為的正方形ABCD的對角線所在直線建立平面直角坐標系，拋物線y=x²+bx+c經過點B且與直線AB只有一個公共點．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求拋物線y=x²+bx+c的解析式；
（3）若點P為（2）中拋物線上一點，過點P作PM⊥x軸于點M，問是否存在這樣的點P，使△PMC∽△ADC？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設直線AB的解析式為：y=kx+b，
由已知可得A（-1，0），B（0，-1）則
∴
∴直線AB的解析式為：y=-x-1

（2）把B（0，-1）代入拋物線y=x²+bx+c中得c=-1，聯立
得x²+（b+1）x=0，
當△=0時，解得b=-1，
∴拋物線解析式為：y=x²-x-1

（3）存在這樣的點P，使△PMC∽△ADC，
∵△ADC為等腰直角三角形，則△PMC為等腰直角三角形，
即CM=PM=m，
又OC=1，根據圖象P點坐標可設為（1+m，m），（1-m，m），（1-m，-m），
代入拋物線解析式y=x²-x-1中，
解方程：（1+m）²-（1+m）-1=m，
（1-m）²-（1-m）-1=m，
（1-m）²-（1-m）-1=-m；
解得m=-1，1，1±，
∴P點的坐標為（0，-1），（2，1），（，1-），（-，1+）．
分析：（1）根據正方形對角線的性質，當AB=時，OA=OB=1，可求直線AB的解析式；
（2）把B（0，-1）代入拋物線y=x²+bx+c中得c=-1，聯立直線與拋物線解析式，得方程組，消去y，得關于x的一元二次方程，當直線與拋物線有唯一公共點時，△=0，可求b；
（3）∵△ADC為等腰直角三角形，則△PMC為等腰直角三角形，即CM=PM=m，又OC=1，根據圖象P點坐標可設為（1+m，m），（1-m，m），（1-m，-m），代入拋物線解析式分別求解．
點評：本題考查了正方形的性質，一次函數，二次函數解析式的求法，并運用拋物線解析式解決三角形的相似問題；本題需要形數結合，分類討論．