Question

【題目】已知拋物線(xiàn)y＝x2﹣2和x軸交于A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B右邊）兩點(diǎn)，和y軸交于點(diǎn)C，P為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求出A，C的坐標(biāo)；

（2）求動(dòng)點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)P的直線(xiàn)交x軸于E，若△POE和△POC全等，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2）；（2）最小值為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）或（﹣，﹣）；（3）P（﹣1，﹣1）或（1，1）．

【解析】

（1）令y＝0，解方程求出x的值，即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，令x＝0求出y的值，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣2），利用勾股定理列式求出OP2，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答；

（3）根據(jù)二次函數(shù)的增減性，點(diǎn)P在第三四象限時(shí)，OP≠1，從而判斷出OC與OE是對(duì)應(yīng)邊，然后確定出點(diǎn)E與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠POC＝∠POE，然后根據(jù)第三、四象限角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的坐標(biāo)特征利用拋物線(xiàn)解析式求解即可．

解：（1）令y＝0，則x2﹣2＝0，

解得x＝±，

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B右邊，

∴A（，0），

令x＝0，則y＝﹣2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2）；

（2）∵P為拋物線(xiàn)y＝x2﹣2上的動(dòng)點(diǎn)，

∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣2），

則OP2＝x2+（x2﹣2）2＝x4﹣3x2+4＝（x2﹣）2+，

∴當(dāng)x2＝，即x＝±時(shí)，OP2最小，OP的值也最小，最小值為，

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）或（﹣，﹣）；

（3）∵OP2＝（x2﹣）2+，

∴點(diǎn)P在第三四象限時(shí)，OP≠1，

∵△POE和△POC全等，

∴OC與OE是對(duì)應(yīng)邊，

∴∠POC＝∠POE，

∴點(diǎn)P在第三、四象限角平分線(xiàn)上，

①點(diǎn)P在第三象限角平分線(xiàn)上時(shí)，y＝x，

∴x2﹣2＝x，

解得x1＝﹣1，x2＝2（舍去），

此時(shí)，點(diǎn)P（﹣1，﹣1）；

②點(diǎn)P在第四象限角平分線(xiàn)上時(shí)，y＝﹣x，

∴x2﹣2＝﹣x，

解得x1＝1，x2＝﹣2（舍去），

此時(shí)，點(diǎn)P（1，1），

綜上所述，P（﹣1，﹣1）或（1，1）時(shí)△POE和△POC全等．