Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系xoy中，直線y=x+交x軸于點B，交y軸于點A，過點C（1，0）作x軸的垂線l，將直線l繞點C按逆時針方向旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜180°）.

（1）當直線l與直線y=x+平行時，求出直線l的解析式；

（2）若直線l經過點A，①求線段AC的長；②直接寫出旋轉角α的度數；

（3）若直線l在旋轉過程中與y軸交于D點，當△ABD、△ACD、△BCD均為等腰三角形時，直接寫出符合條件的旋轉角α的度數.

Answer 1

【答案】（1）y＝x；（2）①AC＝2；②α＝30°；（3）α＝15°或60°或105°或150°

【解析】

（1）設直線l的解析式為y＝x＋b，把點C（1，0）代入求出b即可；

（2）①求出點A的坐標，利用兩點間距離公式即可求出AC的長；②如圖1中，由CE∥OA，推出∠ACE＝∠OAC，由tan∠OAC＝，推出∠OAC＝30°，即可解決問題；

（3）根據等腰三角形的判定和性質，分情況作出圖形，進行求解即可.

解：（1）當直線l與直線y＝x＋平行時，設直線l的解析式為y＝x＋b，

∵直線l經過點C（1，0），

∴0＝＋b，

∴b＝，

∴直線l的解析式為y＝x；

（2）①對于直線y＝x＋，令x＝0得y＝，令y＝0得x＝1，

∴A（0，），B（1，0），

∵C（1，0），

∴AC＝，

②如圖1中，作CE∥OA，

∴∠ACE＝∠OAC，

∵tan∠OAC＝，

∴∠OAC＝30°，

∴∠ACE＝30°，

∴α＝30°；

（3）①如圖2中，當α＝15°時，

∵CE∥OD，

∴∠ODC＝15°，

∵∠OAC＝30°，

∴∠ACD＝∠ADC＝15°，

∴AD＝AC＝AB，

∴△ADB，△ADC是等腰三角形，

∵OD垂直平分BC，

∴DB＝DC，

∴△DBC是等腰三角形；

②當α＝60°時，易知∠DAC＝∠DCA＝30°，

∴DA＝DC＝DB，

∴△ABD、△ACD、△BCD均為等腰三角形；

③當α＝105°時，易知∠ABD＝∠ADB＝∠ADC＝∠ACD＝75°，∠DBC＝∠DCB＝15°，

∴△ABD、△ACD、△BCD均為等腰三角形；

④當α＝150°時，易知△BDC是等邊三角形，

∴AB＝BD＝DC＝AC，

∴△ABD、△ACD、△BCD均為等腰三角形，

綜上所述：當α＝15°或60°或105°或150°時，△ABD、△ACD、△BCD均為等腰三角形．