Question

如圖，正方形BCEF的中心為O，△CBO的外接圓上有一點A（A、O在BC同側，A、C在BO異側），且AB=2

2

，AO=4．
（1）求∠CAO的值；
（2）求tan∠ACB的值；
（3）求正方形BCEF的面積．

Answer 1

分析：（1）根據同弧所對的圓周角相等，即可求解；
（2）作BH⊥OA，交OA的延長線于H，可以得到∠ACB=∠BOH，根據三角函數的定義即可求解；
（3）根據三角函數即可求得AC的長，然后根據勾股定理即可求得BC的長，則正方形的面積即可求解．

解答：解：（1）∠CAO=∠CBO=45°；

（2）作BH⊥OA，交OA的延長線于H，
則∠BAH=45°
∴AH=2，BH=2
∴tan∠BOH=

BH

OH

=

1

3

又∠ACB=∠BOH
∴tan∠ACB=

1

3

．

（3）∵tan∠ACB=

1

3

，又AB=2

2

∴AC=6

2

∴BC²=80
∴正方形BCEF的面積是80．

點評：本題考查了正方形的性質，以及三角函數，正確作出輔助線求得AC的長度是解題關鍵．