Question

已知M是平行四邊形ABCD的邊CD的中點，N為AB邊上一點，且AN=3NB，連AM、MN分別交BD于E、F（如圖①）．
（1）在圖②中畫出滿足上述條件的圖形，試用刻度尺在圖①、②中量得DE、EF、FB的長度，并填入下表．

	DE的長度	EF的長度	FB的長度
圖①中
圖②中

由上表可猜想DE、EF、FB間的大小關系是DE=EF=FB．
（2）上述（1）中的猜想DE、EF、FB間的關系成立嗎？為什么？
（3）若將平行四邊形ABCD改成梯形（其中AB∥CD），且AB=2CD，其它條件不變，此時（1）中猜想DE、EF、FB的關系是否成立？若成立，說明理由；若不成立，求出DE：EF：FB的值．

Answer 1

解：（1）畫圖
填表每空0.5分，
猜想：DE=EF=FB

（2）成立，
理由：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△MDE，
∴BE：DE=AB：DM=2：1，
即BE=2DE，
∴BD=3DE，
又∵AN=3NB，
∴AB=DC=4NB，
∴DM=2NB，
∵AB∥DC，
∴△DMF∽△BNF，
∴DF：FB=DM：NB=2：1，
即DF=2FB，
∴BD=3BF，
∴DE=EF=FB．

（3）不成立；
∵AB=2CD，CD=2DM，
∴AB=4DM．
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△MDE，
∴BE：DE=AB：DM=4：1，
即BE=4DE，
∵AB=4NB，
∴NB=DM．
∵AB∥CD，
∴∠MDF=∠NBF，
∴∠DMF=∠BNF，
∴△BNF≌△DMF，
∴DF=FB，
∴DE=BD，EF=DF-DE=BD，BF=BD，
∴DE：EF：FB=：：=2：3：5．
分析：（1）畫圖，量長度．（2）先證明△ABE∽△MED，△DMF∽△BNF，得出結論．（3）不成立，證明△ABE∽△MDE，△BNF∽△DMF，利用相似比得出DE：EF：FB=2：3：5．
點評：本題綜合考查了平行四邊形、梯形的性質、平行線分線段成比例定理的推論、全等三角形的判定和性質，判定相似三角形并會根據相似三角形的性質求出比值．