Question

已知關于x的方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）求證：無論k取何實數，方程總有實數根；
（2）若方程有兩個不等實根x₁，x₂，且滿足

x

2 1

-2x1+kx2=4，求k的值．

Answer 1

分析：（1）先計算出）△=（k+2）²-8k=（k-2）²，根據非負數的性質得到△≥0，然后根據判別式的意義得到無論k取何實數，方程總有實數根；
（2）利用方程解的意義得到x₁²-（k+2）x₁+2k=0，根據根與系數的關系得到x₁+x₂=k+2，x₁x₂=2k，由

x

2 1

-2x1+kx2=4得到k²=4，然后解方程即可．

解答：解：（1）△=（k+2）²-8k=（k-2）²≥0，
∵（k-2）²≥0，
∴△≥0，
∴無論k取何實數，方程總有實數根；

（2）根據題意得x₁+x₂=k+2，x₁x₂=2k，
∴x₁²-（k+2）x₁+2k=0，
∴x₁²=（k+2）x₁-2k，
∵

x

2 1

-2x1+kx2=4，
∴（k+2）x₁-2k-2x₁+kx₂=4，
∴kx₁-2k+kx₂=4，
∴k（x₁+x₂）-2k=4，
∴k²=4，
∴k₁=-2，k₂=2．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的根的判別式．