Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，點E是邊AD上動點，點F是邊BC上動點，連接EF，把矩形ABCD沿直線EF折疊，點B恰好落在邊AD上，記為點G；如圖2，把矩形展開鋪平，連接BE，FG.

（1）判斷四邊形BEGF的形狀一定是　 　，請證明你的結論；

（2）若矩形邊AB＝4，BC＝8，直接寫出四邊形BEGF面積的最大值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）四邊形BEGF是菱形，證明見解析；（2）四邊形BEGF面積的最大值為20.

【解析】

（1）由折疊的性質可得∠BFE＝∠EFG，BF＝FG，由平行線的性質可得∠DEF＝∠GFE＝∠EFB，可得EG＝FG＝BF，AD∥BC，可證四邊形BEGF是菱形；

（2）當EG最大時，四邊形BEGF面積有最大值，由勾股定理可求EG的長，即可求解．

（1）四邊形BEGF是菱形，

∵四邊形ABCD是矩形

∴AD∥BC，

∴∠DEF＝∠EFB，

∵把矩形ABCD沿直線EF折疊，點B恰好落在邊AD上，

∴∠BFE＝∠EFG，BF＝FG，

∴∠DEF＝∠GFE，

∴EG＝FG，

∴EG＝BF，且AD∥BC，

∴四邊形BEGF是平行四邊形，且BF＝FG，

∴四邊形BEGF是菱形，

（2）∵四邊形BEGF是菱形，

∴BE＝EG，

∵S四邊形BEGF＝EG×AB＝4EG，

∴當EG最大時，四邊形BEGF面積有最大值，

當AE+EG＝AD時，EG最大，

∵AB2+AE2＝BE2，

∴，

∴，

∴BE＝5＝EG，

∴四邊形BEGF面積的最大值＝4×5＝20.