Question

已知如圖⊙A和⊙B外切于點P，它們的半徑分別為R和r，CD是它們的外公切線，切點分別為C、D，且的弧長為1．
（1）求證：S_陰影=
（2）當R=6cm，r=2cm時，求S陰影．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接AP、AC，易得四邊形ACDB是直角梯形，即可得S_梯形ACDB=（AC+BD）•CD=（R+r）•CD，又由的弧長為1，即可求得S_扇形CAP=×1×R=R，繼而證得S_陰影=；
（2）過點B作BE⊥AC于E，易求得BE的長，然后代入公式，求得S陰影．
解答：（1）證明：連接AP、AC，
∵CD是⊙A、⊙B的公切線，
∴四邊形ACDB是直角梯形，
∴S_梯形ACDB=（AC+BD）•CD=（R+r）•CD，
∵的弧長為1，
∴S_扇形CAP=×1×R=R，
∴S_陰影=S_梯形ACDB-S_扇形CAP=（R+r）•CD-R=；

（2）解：過點B作BE⊥AC于E，
∵CD是它們的外公切線，切點分別為C、D，
∴AC⊥CD，BD⊥CD，
∴四邊形BDCE是矩形，
∴BE=CD，AE=AC-BD=R-r=6-2=4（cm），
∵AB=AP+PB=6+2=8（cm），
 在Rt△ABE中，BE==4（cm），
∴CD=4cm，
∴S_陰影===16-3（cm²）．
點評：此題考查了相切兩圓的性質、勾股定理、扇形的面積、梯形的面積以及矩形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．