Question

（2013•贛州模擬）如圖1，已知二次函數y=ax²+bx+c（其中a＜0，b＞0，c＞0）的圖象與y軸的交于點C，其頂點為A；直線CD∥x軸、且與拋物線的對稱軸AE交于點B，交拋物線于另一點D．
（1）試用含b的代數式表示

AB

CD

的值；
（2）如圖2，連接AC與AD，我們把△ACD稱為拋物線的伴隨三角形．
①當△ACD為直角三角形時，求出此時b值；
②若△ACD的面積記為S，當拋物線的對稱軸為直線x=2時，請寫出伴隨三角形面積S與b的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數的頂點坐標表示出線段AB和線段CD的長，然后求其比值即可；
（2）①首先判定三角形ACD是等腰直角三角形，然后表示出AB與CD的比值，從而得到有關b的等式，求解即可；
②根據表示的AB和CD的長表示出伴隨三角形的面積，利用其對稱軸為2表示出a、b的關系，從而表示出S．

解答：解：（1）∵二次函數y=ax²+bx+c的頂點縱坐標為

4ac-b2

4a

，
又∵直線CD∥x軸與拋物線的對稱軸AE交于點B，且a＜0，c＞0，
∴AB=

4ac-b2

4a

-c=-

b2

4a

；    
在y=ax²+bx+c中，設y=c，可得：c=ax²+bx+c，
解得x1=0，x2=-

b

a

，
∵a＜0，b＞0，
∴CD=-

b

a

-0=-

b

a

，
∴

AB

CD

=（-

b2

4a

）÷（-

b

a

）=

b

4

；  

（2）①∵直線AE是拋物線的對稱軸，直線CD∥x軸，
∴點C與點D關于直線AE對稱，
∴AC=AD，
∴△ACD是等腰三角形，
又∵△ACD是直角三角形，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴

AB

CD

=

1

2

，又由（1）可知

AB

CD

=

b

4

，
∴

b

4

=

1

2

，
∴當b=2時，
△ACD是直角三角形；
②∵AB=-

b2

4a

，CD=-

b

a

，
∴伴隨△ACD的面積S=

1

2

×AB×CD，
∴S=

1

2

×（-

b2

4a

）×（-

b

a

）=

b3

8a3

，
又拋物線的對稱軸為直線x=2，
∴-

b

2a

=2
∴a=-

b

4

，
∴S=

b3

8×(- b 4 )2

=2b（b＞0）．

點評：本題考查了二次函數的綜合知識，特別是第二題中提到的伴隨三角形是一個全新的概念，考查了同學們的理解與加工新知識的能力．