Question

如圖：三角形ABC內接于圓O，∠BAC與∠ABC的角平分線AE，BE相交于點E，延長AE交外接圓O于點D，連接BD，DC，且∠BCA=60°
（1）求∠BED的大小；
（2）證明：△BED為等邊三角形；
（3）若∠ADC=30°，圓O的半徑為r，求等邊三角形BED的邊長．

Answer 1

分析：（1）根據三角形內角和定理求出∠BAC+∠ABC的度數，再根據角平分線定義求出∠ABE+∠BAE的度數，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求解；
（2）根據在同一個圓中，同弧所對的圓周角相等可得∠ADB=∠BCA=60°，再根據三角形的內角和定理求出∠DBE=60°，然后即可得證；
（3）根據∠ADC=30°可以求出∠BDC=90°，從而得到BC是圓的直徑，然后求出∠ABC=30°，所以∠CBE=15°，然后求出∠DBC=45°，得到△BDC是等腰直角三角形，邊長BD=

2

2

BC．

解答：解：（1）∵∠BCA=60°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠BCA=180°-60°=120°，
∵∠BAC與∠ABC的角平分線AE，BE相交于點E，
∴∠ABE+∠BAE=

1

2

（∠BAC+∠ABC）=

1

2

×120°=60°，
∴∠BED=∠ABE+∠BAE=60°；

（2）證明：∵∠BCA=60°，
∴∠ADB=∠BCA=60°，
∴∠DBE=180°-∠BED-∠ADB=180°-60°-60°=60°，
∴△BED為等邊三角形；

（3）∵∠ADC=30°，∠ADB=60°，
∴∠BDC=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，
∴BC是⊙O的直徑，
∵∠BCA=60°，
∴∠ABC=90°-60°=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=15°，
∴∠DBC=∠DBE-∠CBE=60°-15°=45°，
∴BD=BC•cos45°=2r•

2

2

=

2

r．
即等邊△BED的邊長為

2

r．

點評：本題考查了圓周角定理，角平分線的定義，等邊三角形的判定與性質，（1）中需要注意整體思想的利用使求解更加方便．