Question

如圖：三角形ABC內(nèi)接于圓O，∠BAC與∠ABC的角平分線AE，BE相交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AE交外接圓O于點(diǎn)D，連接BD，DC，且∠BCA=60°
（1）求∠BED的大小；
（2）證明：△BED為等邊三角形；
（3）若∠ADC=30°，圓O的半徑為r，求等邊三角形BED的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC+∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線定義求出∠ABE+∠BAE的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求解；
（2）根據(jù)在同一個(gè)圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠ADB=∠BCA=60°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠DBE=60°，然后即可得證；
（3）根據(jù)∠ADC=30°可以求出∠BDC=90°，從而得到BC是圓的直徑，然后求出∠ABC=30°，所以∠CBE=15°，然后求出∠DBC=45°，得到△BDC是等腰直角三角形，邊長(zhǎng)BD=BC．
解答：解：（1）∵∠BCA=60°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠BCA=180°-60°=120°，
∵∠BAC與∠ABC的角平分線AE，BE相交于點(diǎn)E，
∴∠ABE+∠BAE=（∠BAC+∠ABC）=×120°=60°，
∴∠BED=∠ABE+∠BAE=60°；

（2）證明：∵∠BCA=60°，
∴∠ADB=∠BCA=60°，
∴∠DBE=180°-∠BED-∠ADB=180°-60°-60°=60°，
∴△BED為等邊三角形；

（3）∵∠ADC=30°，∠ADB=60°，
∴∠BDC=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，
∴BC是⊙O的直徑，
∵∠BCA=60°，
∴∠ABC=90°-60°=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=15°，
∴∠DBC=∠DBE-∠CBE=60°-15°=45°，
∴BD=BC•cos45°=2r•=r．
即等邊△BED的邊長(zhǎng)為r．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，角平分線的定義，等邊三角形的判定與性質(zhì)，（1）中需要注意整體思想的利用使求解更加方便．