Question

如圖，正三角形、正方形、正六邊形等正n邊形與圓的形狀有差異，我們將正n邊形與圓的接近程度稱為“接近度”、在研究“接近度”時，應保證相似圖形的“接近度”相等、
（1）設正n邊形的每個內角的度數為m°，將正n邊形的“接近度”定義為|180-m|、于是，|180-m|越小，該正n邊形就越接近于圓，
①若n=20，則該正n邊形的“接近度”等于______；
②當“接近度”等于______時，正n邊形就成了圓．
（2）設一個正n邊形的半徑（即正n邊形外接圓的半徑）為R，邊心距（即正n邊形的中心到各邊的距離）為r，將正n邊形的“接近度”定義為|R-r|，于是|R-r|越小，正n邊形就越接近于圓；你認為這種說法是否合理？若不合理，請給出正n邊形“接近度”的一個合理定義．

Answer 1

解：（1）①∵正20邊形的每個內角的度數m==162°，
∴|180-m|=18；
②當“接近度”等于0時，正n邊形就成了圓．

（2）不合理．例如，對兩個相似而不全等的正n邊形來說，它們接近于圓的程度是相同的，但|R-r|卻不相等．合理定義方法不唯一，如定義為、越小，正n邊形越接近于圓；越大，正n邊形與圓的形狀差異越大；當=1時，正n邊形就變成了圓．
分析：（1）①首先求出正20邊形的每個內角的度數m，然后求出|180-m|即可；
②由正n邊形的“接近度”的定義，可知當“接近度”等于0時，正n邊形就成了圓．
（2）由于正n邊形的半徑R，邊心距r都與此正n邊形的邊長有關，故將正n邊形的“接近度”定義為|R-r|，不合理，舉反例說明；然后給出正n邊形“接近度”的一個合理定義，答案不唯一．
點評：本題題型較為新穎，有一定難度．考查了學生讀題、做題的能力，通過此題的訓練，有利于培養學生分析、解決問題的能力．