Question

如圖，在△ABC中，D為BC邊的中點，過D點分別作DE∥AB交AC于點E，DF∥AC交AB于點F．
（1）證明：△BDF≌△DCE；
（2）如果給△ABC添加一個條件，使四邊形AFDE成為菱形，則該條是______；如果給△ABC添加一個條件，使四邊形AFDE成為矩形，則該條件是______．
（均不再增添輔助線）請選擇一個結論進行證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證△BDF≌△DCE，由平行線的性質可證∠EDC=∠FBD，∠FDB=∠ECD，又BD=DC，符合ASA，即可證明；
（2）要使四邊形AFDE為菱形，而四邊形AFDE為平行四邊形，根據定義只需證一組鄰邊相等即可，故可添加條件為AB=AC或BC=AC或BA=BC；要使四邊形AFDE為矩形，而四邊形AFDE為平行四邊形，根據定義只需證一內角為90°，故可添加條件為∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°．
解答：（1）證明：∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠FBD．（1分）
∵DF∥AC，
∴∠FDB=∠ECD．（2分）
又∵BD=DC，
∴△BDF≌△DCE．（3分）

（2）解：AB=AC或BC=AC或BA=BC；∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°，
（填寫其中一個即可，每空（1分），共（2分）
①證明：∵DE∥AB    DF∥AC，
∴四邊形AFDE為平行四邊形．（6分）
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴ED=EC．
由△BDF≌△DCE可得：FD=EC．
∴ED=FD，
∴四邊形AFDE為菱形．（7分）

②證明：同理可證四邊形AFDE為平行四邊形．（6分）
∵∠A=90，
∴四邊形AFDE為矩形．（7分）
點評：菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：①定義，②四邊相等，③對角線互相垂直平分．具體選擇哪種方法需要根據已知條件來確定．