Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線y=x-3交于A，B兩點，其中點B在y軸上，點A坐標為（-4，-5），點P為y軸左側的拋物線上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交AB于點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）以O，B，P，D為頂點的平行四邊形是否存在？如存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）當點P運動到直線AB下方某一處時，△PAB的面積是否有最大值？如果有，請求出此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x-3（2）存在，（-2-，-1-），（-1，-），（-3，-）（3）（-2，-8）

【解析】

（1）由題意可得點B（0，-3），將點B，點A坐標代入解析式，可求拋物線解析式；

（2）設P（m，m2+m-3），則點D（m，m-3），可得PD=|m2+4m|，以O，B，P，D為頂點的平行四邊形且OB∥PD，可得PD=|m2+4m|=OB=3，可求m的值，即可得點P的坐標；

（3）設點P（x，x2+x-3），則點D（x，x-3），則PD=-x2-4x，由題意可得S△PAB=×PD×4，根據二次函數的性質，可求△PAB的面積的最大值．

（1）∵直線y=x-3交y軸于點B

∴B（0，-3），

∵拋物線y=x2+bx+c經過點A（-4，-5），點B（0，-3）

∴

解得：b=，c=-3

∴拋物線解析式y=x2+x-3

（2）存在，

設P（m，m2+m-3），（m＜0），

∴D（m，m-3），

∴PD=|m2+4m|

∵PD∥BO，

∴當PD=OB=3，故存在以O，B，P，D為頂點的平行四邊形，

∴|m2+4m|=3，

①當m2+4m=3時，

∴m1=-2-，m2=-2+（舍），

當m=-2-時，則m2+m-3=-1-

∴P（-2-，-1-），

②當m2+4m=-3時，

∴m1=-1，m2=-3，

當m1=-1時，則m2+m-3=-，

∴P（-1，-），

當m2=-3，∴m2+m-3=-，

∴P（-3，-），

∴點P的坐標為（-2-，-1-），（-1，-），（-3，-）．

（3）設點P（x，x2+x-3），則點D（x，x-3），

∴PD=x-3-（x2+x-3）=-x2-4x

∵S△APB=×PD×4=-2x2-8x=-2（x+2）2+8

∴當x=-2時，△PAB的面積的最大值為8．

∴點P坐標（-2，-8）