Question

如圖，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分線相交于點I，若∠B=35°，BC=AI+AC，則∠BAC的度數為（　　）

A．60°

B．70°

C．80°

D．90°

Answer 1

分析：方法一：在BC上取CD=AC，連接BI、DI，然后利用邊角邊證明△ACI與△DCI全等，根據全等三角形對應邊相等可得AI=DI，對應角相等可得∠CAI=∠CDI，再根據BC=AI+AC求出AI=BD，從而可得BD=DI，然后根據等角對等邊的性質以及三角形的任意一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠CDI=2∠DBI，再根據角平分線的定義即可求出∠CDI=∠ABC，又∠BAC=2∠CAI，代入數據進行計算即可求解；
方法二：延長CA到D，使AD=AI，根據等邊對等角可得∠D=∠AID，根據BC=AI+AC可得BC=CD，然后利用邊角邊證明△BCI與△DCI全等，根據全等三角形對應角相等可得∠D=∠CBI，再根據叫平分線的定義以及三角形的任意一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠CAI=2∠D=∠ABC，又∠BAC=2∠CAI，代入數據進行計算即可求解．

解答：解：方法一：如圖1，在BC上取CD=AC，連接BI、DI，
∵CI平分∠ACB，
∴∠ACI=∠BCI，
在△ACI與△DCI中，

AC=CD ∠ACI=∠BCI CI=CI

，
∴△ACI≌△DCI（SAS），
∴AI=DI，∠CAI=∠CDI，
∵BC=AI+AC，
∴BD=AI，
∴BD=DI，
∴∠IBD=∠BID，
∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD，
又∵AI、CI分別是∠BAC、∠ACB的平分線，
∴BI是∠ABC的平分線，
∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI，
∴∠CDI=∠ABC，
∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC，
∵∠B=35°，
∴∠BAC=35°×2=70°；

方法二：如圖2，延長CA到D，使AD=AI，
∴∠D=∠AID，
∵BC=AI+AC，
∴BC=CD，
在△BCI與△DCI中，

BC=CD ∠BCI=∠DCI CI=CI

，
∴△BCI≌△DCI（SAS），
∴∠D=∠CBI，
∵AI、CI分別是∠BAC、∠ACB的平分線，
∴BI是∠ABC的平分線，
∴∠ABC=2∠CBI，
又∵∠CAI=∠D+∠AID=2∠D，
∠BAC=2∠CAI=2∠ABC，
∵∠B=35°，
∴∠BAC=2×35°=70°．
故選B．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，全等三角形的判定與性質，利用“割補法”作輔助線構造全等三角形以便于利用條件“BC=AI+AC”是解決本題的關鍵，也是難點．