Question

【題目】已知拋物線y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的頂點為A，交y軸交于點C，過C作CB∥x軸交拋物線于點B，過點B作直線l⊥x軸，連結OA并延長，交l于點D，連結OB．

（1）當a＝﹣1時，求線段OB的長．

（2）是否存在特定的a值，使得△OBD為等腰三角形？若存在，請寫出求a值的計算過程；若不存在，請說明理由．

（3）設△OBD的外心M的坐標為（m，n），求m與n的數量關系式．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）a＝﹣1或﹣；（3）m＝3n2+2

【解析】

由y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），可得點C（0，3a）、對稱軸為：x＝2，點B（4，3a），點A（2，﹣a），點D（4，﹣2a）；

（1）把a=-1代入求得點B（4，﹣3），繼而可得OB長；

（2）分OD＝OB、OD＝BD、OB＝BD三種情況，分別求解即可；

（3）線段OD的中垂線的表達式為：y＝x﹣a﹣…①，線段BD的中垂線的表達式為：y＝a…②，聯立①②并解得：x＝a2+2＝m，y＝a＝n，即可求解．

y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），

當x=0時，y=3a，

所以點C（0，3a）、

函數的對稱軸為：x＝2，

所以點B（4，3a），

當x=2時，y= a（2﹣1）（2﹣3）=-a，

所以點A（2，﹣a），

設OA的解析式為y=kx，

把A（-2，a）代入，得a=-2k，得k=，

所以直線OA：y=x，

當x=4時，y=-2a，

所以點D（4，﹣2a）；

（1）當a=-1時，點B（4，﹣3），故OB＝=5；

（2）OD2＝16+4a2，OB2＝16+9a2，BD2＝25a2，

①當OD＝OB時，即16+4a2＝16+9a2，解得：a＝0（舍去）；

②當OD＝BD時，同理可得：a＝﹣或a＝（正值舍去）；

③當OB＝BD時，同理可得：a＝﹣1或a=1（正值舍去）；

綜上，a＝﹣1或﹣；

（3）線段OD的函數表達式為：y＝﹣ax，直線OD的中點為點A（2，﹣a），

則線段OD的中垂線的表達式為：y＝x+b，

將點A（2，﹣a）代入上式得：-a=+b，

解得：b=-a-，

所以線段OD的中垂線的表達式為：y＝x﹣a﹣…①，

線段BD的中垂線的表達式為：y＝a…②，

聯立①②并解得：x＝a2+2＝m，y＝a＝n，

故m＝3n2+2．