Question

三個正方形ABCD，BEFG，RKPF的位置如圖所示，點G在線段DK上，正方形BEFG的邊長為4，則△DEK的面積為（ ）

A．14
B．16
C．18
D．20

Answer 1

【答案】分析：設AB=a，FP=b，延長PK，BE交于點M，根據正方形性質得出AB=AD=CD=BC=a，FR=RK=PK=FP=b，求出S_△AED=（4+a）a，S_△CGD=（a-4）a，S△KPG=（4+b）b，S_△EKM=（4-b）b，代入式子S_△DKE=（S_{正方形ABCD}+S_{正方形GFEB}+S_{正方形FPME}）-（S_△AED+S_△CGD+S_△GPK+S_△EMK）求出即可．
解答：解：設AB=a，FP=b，延長PK，BE交于點M，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD=CD=BC=a，
∴S_△AED=（4+a）a，
∵CG=BC-BG=a-4，
∴S_△CGD=（a-4）a，
∵四邊形FPRK為正方形，
∴FR=RK=PK=FP=b，
∵GF=4，
∴S△KPG=（4+b）b，
∵四邊形FEBG、FPKR為正方形，
∴∠MBG=∠BGP=∠P=90°，
∴矩形FPME，
∴PM=4 KM=4-b，
∵EM=b，
∴S_△EKM=（4-b）b，
∴S_△DKE=（S_{正方形ABCD}+S_{正方形GFEB}+S_矩形FPME）-（S_△AED+S_△CGD+S_△GPK+S_△EMK），
=（a²+4²+4b）-[（4+a）a+（a-4）a+（4+b）b+（4-b）b]，
=a²+16+4b-[2a+a²+a²-2a+2b+b²+2b-b²]
=a²+16+4b-[a²+4b]
=16；
解法二、
連接BD、GE、FK，
則根據正方形性質推出∠PFK=∠FGE=∠CDB=45°，
即BD∥GE∥FK，
則根據等底等高的三角形面積相等得出：S_△GED=S_△GBE，S_△KGE=S_△FEG，
∴陰影部分的面積是S=S_△GED+S_△KEG=S_△GEB+S_△FGE=S_{正方形BGFE}=16；
故選B．
點評：本題考查了矩形的性質和判定、正方形性質，三角形的面積、面積與等積變換，關鍵是把不規則圖形的面積轉化成規則圖形（如三角形或正方形）的面積來求，題目比較典型，是一道比較好的題目．