Question

閱讀材料：如下圖1，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高（h）”。我們可得出一種計算三角形面積的新方法：S_△ABC=ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半。
解答下列問題：如下圖2，拋物線頂點坐標為點C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B。
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）點P是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，連接PA，PB，當P點運動到頂點C時，求△CAB的鉛垂高CD及S_△CAB；
（3）是否存在一點P，使S_△PAB=S_△CAB？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為：y₁=a（x﹣1）²+4，
把A（3，0）代入解析式，
求得a=﹣1，
所以y₁=﹣（x﹣1）²+4=﹣x²+2x+3，
設直線AB的解析式為：y₂=kx+b，
由y₁=﹣x²+2x+3，
求得B點的坐標為（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y₂=kx+b中，
解得：k=﹣1，b=3，
所以y₂=﹣x+3；
（2）因為C點坐標為（1，4），
所以當x=1時，y₁=4，y₂=2，
所以CD=4﹣2=2S_△CAB=×3×2=3（平方單位）；
（3）假設存在符合條件的點P，
設P點的橫坐標為x，△PAB的鉛垂高為h，
則h=y₁﹣y₂=（﹣x²+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x²+3x，
由S_△PAB=S_△CAB，
得：×3×（﹣x²+3x）=×3，
化簡得：4x²﹣12x+9=0，
解得，x=，
將x=代入y₁=﹣x²+2x+3中，
解得P點坐標為（，）。