Question

如圖所示，DF是平行四邊形ABCD中∠ADC的平分線，EF∥AD交DC于點E．
（1）四邊形AFED是菱形嗎？請說明理由；
（2）如果∠A=60°，AD=5，求四邊形AFED的面積．

Answer 1

分析：（1）四邊形AFED是菱形．根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．由題意易得四邊形AFED是平行四邊形，根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質可證AD=AF，所以平行四邊形AFED是菱形．
（2）可根據(jù)已知條件，利用勾股定理求得對角線AE的長，從而求出菱形的面積=對角線積的一半．

解答：解：（1）四邊形AFED是菱形．
理由：∵EF∥AD，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DE∥AF，
∴四邊形AFED是平行四邊形．
∵DF是∠ADC的平分線，
∴∠ADF=∠EDF，
∵DE∥AF，
∴∠EDF=∠AFD，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AD=AF，
∴平行四邊形AFED是菱形．

（2）如答圖所示，連接AE，與DF相交于O點，
∵∠DAB=60°，
∴△ADF是等邊三角形，
∴FD=AD=5，
∴OF=OD=

5

2

，
∵AE⊥DF，
∴∠AOD=90°，
在Rt△AOD中，AO=

AD2-OD2

=

52-( 5 2 )2

=

5 3

2

．
故S_菱形AFED=

1

2

•OD•AO•4=

1

2

×

5

2

×

5 3

2

×4=

25 3

2

．

點評：此題主要考查菱形的判定和菱形的面積計算．菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：
①定義；②四邊相等；③對角線互相垂直平分．具體選擇哪種方法需要根據(jù)已知條件來確定．