Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，P底邊BC上一點，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F．
（1）求證：PD+PE=CF；
（2）若P點在BC的延長線上，那么PD、PE、CF存在什么關系？寫出你的猜想并證明．

Answer 1

分析：（1）連接AP，根據等腰三角形的性質可表示出S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP=

1

2

×AB×（PD+PE），同時可表示出S_△ABC=

1

2

AB×CF，從而可得到PD+PE=CF．
（2）CF+PE=PD，根據S_△APB=S_△ABC+S_△ACP進行推理，證法同（1）．

解答：（1）證明：連接AP．
∵AB=AC，
∴S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP=

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2

AB×PD+

1

2

AC×PE=

1

2

×AB×（PD+PE），
∵S_△ABC=

1

2

AB×CF，
∴PD+PE=CF．

（2）解：CF+PE=PD．
P點在BC的延長線上，過P做AB⊥PD，過C作AB⊥CF，過P作PE⊥AC，交AC的延長線于E點，連接AP
∵AB=AC，
∴S_△APB=S_△ABC+S_△ACP=

1

2

AB×CF+

1

2

AC×PE=

1

2

×AB×（CF+PE），
∵S_△APB=

1

2

AB×PD，
∴CF+PE=PD．

點評：此題主要考查等腰三角形的性質及三角形面積的綜合運用，此題的關鍵是利用面積公式將所求聯系在一起．