Question

如圖，⊙O直徑CD⊥AB于E，AF⊥BD于F，交CD的延長線于H，連AC．
（1）求證：AC=AH；
（2）若AB=，OH=5，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據垂直的定義，以及圓周角定理即可證明∠C=∠H，然后根據等角對等邊即可證得；
（2）連接AO，在直角△AOE中，根據勾股定理即可得到關于ED與OE的方程，即可求解．
解答：解：（1）∵AF⊥BD，CD⊥AB，
∴∠H=∠B，
又∵∠C=∠B，
∴∠C=∠H，
∴AC=AH；
（2）連接AO，∵AC=AH，CD⊥AB，
∴AE=，CE=EH，
設ED=x，OE=y，
∴OA=OC=OD=x+y，
∴EH=CE=x+2y，
∴OH=x+3y，
∴x+3y=5，
又∵OA²=AE²+OE²，
∴，
∴x=2，y=1，
∴⊙O的半徑x+y=3．
點評：此題涉及圓中求半徑的問題，此類在圓中涉及弦長、半徑、圓心角的計算的問題，常把半弦長，半圓心角，圓心到弦距離轉換到同一直角三角形中，然后通過直角三角形予以求解．