Question

如圖，在邊長為4的正方形中，點在上從向運動，連接交于點．

（1）試證明：無論點運動到上何處時，都有△≌△；

（2）當點在上運動到什么位置時，△的面積是正方形面積的；

（3）若點從點運動到點，再繼續在上運動到點，在整個運動過程中，當點 運動到什么位置時，△恰為等腰三角形．

Answer 1

（1）證明：在正方形中，無論點運動到上何處時，都有

=  ∠=∠  =                  

         ∴△≌△

(2)解法一：△的面積恰好是正方形ABCD面積的時，

過點Q作⊥于,⊥于，則 =   

    

==

     ∴=

由△ ∽△得        解得

∴時，△的面積是正方形面積的  

解法二：以為原點建立如圖所示的直角坐標系，過點作⊥軸于點，⊥軸于點．                                        

 ==     ∴=

     ∵點在正方形對角線上    ∴點的坐標為

 ∴ 過點（0，4），(兩點的函數關系式為：

 當時，   ∴點的坐標為（2，0）

     ∴時，△的面積是正方形面積的．

（3）若△是等腰三角形，則有 =或=或=

①當點運動到與點重合時，由四邊形是正方形知  =

       此時△是等腰三角形

      ②當點與點重合時，點與點也重合，

此時=, △是等腰三角形               

③解法一：如圖，設點在邊上運動到時，有=

∵ ∥       ∴∠=∠     

又∵∠=∠  ∠=∠

∴∠=∠

∴ ==

∵=    =  =4

∴

即當時，△是等腰三角形      

    解法二：以為原點建立如圖所示的直角坐標系，設點在上運動到時，

有=．

過點作⊥軸于點，⊥軸于點,則

在△中，，∠=45°  

∴=°=

∴點的坐標為（，）

∴過、兩點的函數關系式：+4

當=4時，   ∴點的坐標為（4，8-4）．

∴當點在上運動到時，△是等腰三角形．