Question

如果給你一副帶有刻度的三角板，請你畫出∠AOB的平分線．下面三位同學是這樣設計的，
（1）小亮是這樣做的：
①分別在OA，OB上量取OM=ON，連接MN．
②取MN的中點P．
③作射線OP
那么OP是∠AOB的平分線


（2）小明是這樣做的：
①分別在OA，OB上量取OM=ON，MR=NS
②連接MS，NR交于P
③作射線OP
那么OP是∠AOB的平分線．                                      

（1）以上2位同學的設計你認為正確嗎？若正確，請對正確作法加以證明，若不正確，請簡要說明理由．
（2）請你根據以上信息，創造新的證明角平分線的作法，在備用圖上畫出圖形，并證明其可行性．

Answer 1

【答案】分析：（1）小亮根據全等三角形的判定定理SSS即可證出答案；小明根據全等三角形的判定SAS得到△ONR≌△OMS，推出∠OSM=∠ORN，即可證出△NSP≌△MPR和△ONP≌△OMP，能推出∠MOP=∠PON，即可得到答案．
（2）由作法可知MO=MP和MP∥OA，可推出∠MOP=∠MPO=∠POA，即可得到答案．
解答：解：（1）都正確．
小亮的證明過程；
∵ON=OM，NP=PM，OP=OP
∴△ONP≌△OMP（SSS）
∴∠NOP=∠MOP，
即：OP是∠AOB的平分線．

小明的證明過程：
∵ON=OM，NS=RM，
∴OS=OR，
∵∠MON=∠MON，
∴△ONR≌△OMS（SAS）
∠OSM=∠ORN
∴△NSP≌△MPR（AAS）
∴NP=MP
∴△ONP≌△OMP（SSS）
∴∠NOP=∠MOP，
即：OP是∠AOB的平分線．

（2）解：可以這樣做：
①在OB上任取一點M
②過M作MN∥OA，在MN上量取MP=OM
③作射線OP
則OP是∠AOB的平分線．
證明：
∵MO=MP，
∴∠MOP=∠MPO，
∵MP∥OA
∴∠MPO=∠POA，
∴∠MOP=∠POA，
即OP是∠AOB的平分線．
點評：本題主要考查了全等三角形的性質和判定，作圖與基本作圖，平行線的性質，三角形的角平分線等知識點，解此題的關鍵是能靈活運用性質進行證明和作圖．