Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=45°，AB=10cm，CD=4cm．等腰直角三角形PMN的斜邊MN=10cm，A點與N點重合，MN和AB在一條直線上，設等腰梯形ABCD不動，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以1cm/s的速度向右移動，直到點N與點B重合為止．
（1）等腰直角三角形PMN在整個移動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由______形變化為______形；
（2）設當等腰直角三角形PMN移動x（s）時，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積為y（cm²），求y與x之間的函數關系式；
（3）當①x=4（s），②x=8（s）時，求等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積．

Answer 1

（1）等腰直角△PMN，
∠DAB=45°，
∴∠PNM=∠DAB=45°，
∴∠AEN=180°-45°-45°=90°，
∴△AEN是等腰直角三角形，
如圖②DC∥AB，∠DAB=∠PNM=45°，
∴四邊形DENA是等腰梯形，
故答案為：等腰直角三角，等腰梯．

（2）可分為以下兩種情況：
①當0＜x≤6時，重疊部分的形狀為等腰直角三角形EAN（如圖①），
此時AN=x（cm），
過點E作EH⊥AB于點H，則EH平分AN，
∴EH=

1

2

AN=

1

2

x，
∴y=S_△ANE=

1

2

AN•EH=

1

2

x•

1

2

x=

1

4

x²，
②當6＜x≤10時，重疊部分的形狀是等腰梯形ANED（如圖②），
此時，AN=x（cm），
可求得CE=BN=10-x，DE=4-（10-x）=x-6，
過點D作DF⊥AB于F，過點C作CG⊥AB于G，
則AF=BG，DF=AF=

1

2

（10-4）=3，
∴y=S_梯形ANED=

1

2

(DE+AN)•DF=

1

2

（x-6+x）×3=3x-9．
答：y與x之間的函數關系式是y=

1

4

x²（0＜x≤6）或 y=3x-9（6＜x≤10）．

（3）①當x=4（s）時，
y=

1

4

x2=

1

4

×42=4，
②當x=8（s）時，
y=3x-9=3×8-9=15，
答：①當x=4（s）時，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積是4cm²，②當x=8（s）時，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積是15cm²．