Question

某興趣小組用高為a米的儀器測量建筑物CD的高度．如示意圖，由距CD一定距離的A處用儀器觀察建筑物頂部D的仰角為β，在A和C之間選一點B，由B處用儀器觀察建筑物頂部D的仰角為α．測得A，B之間的距離為b米，tanα=m，tanβ=n，試求建筑物CD的高度．
（最后的結果用含a，b，m，n的式子來表示．）

Answer 1

分析：CD與EF的延長線交于點G，設DG=x米．由三角函數的定義得到，在Rt△DGF中，tanα=

DG

GF

，在Rt△DGE中，tanβ=

DG

GE

，根據EF=EG-FG，得到關于x的方程，解出x，再加上a即為建筑物CD的高度．

解答：解：CD與EF的延長線交于點G，如圖，
設DG=x米．
在Rt△DGF中，tanα=

DG

GF

，即tanα=

x

GF

．
在Rt△DGE中，tanβ=

DG

GE

，即tanβ=

x

GE

．
∴GF=

x

tanα

，GE=

x

tanβ

．
∴b=

x

tanβ

-

x

tanα

．
∴x=

btanα•tanβ

tanα-tanβ

∴CD=DG+GC=

btanα•tanβ

tanα-tanβ

+a=

bmn

m-n

+a．

點評：本題考查了仰角的概念：向上看，視線與水平線的夾角叫仰角．也考查了測量建筑物高度的方法以及三角函數的定義．