Question

如圖，圓錐的軸截面是邊長為6cm的正三角形ABC，P是母線AC的中點．則在圓錐的側面上從B點到P點的最短路線的長為________．

Answer 1

分析：求出圓錐底面圓的周長，則以AB為一邊，將圓錐展開，就得到一個以A為圓心，以AB為半徑的扇形，根據弧長公式求出展開后扇形的圓心角，求出展開后∠BAC=90°，連接BP，根據勾股定理求出BP即可．
解答：圓錐底面是以BC為直徑的圓，圓的周長是BCπ=6π，
以AB為一邊，將圓錐展開，就得到一個以A為圓心，以AB為半徑的扇形，弧長是l=6π，
設展開后的圓心角是n°，則=6π，
解得：n=180，
即展開后∠BAC=×180°=90°，
AP=AC=3，AB=6，
則在圓錐的側面上從B點到P點的最短路線的長就是展開后線段BP的長，
由勾股定理得：BP===3，
故答案為：3．
點評：本題考查了圓錐的計算，平面展開-最短路線問題，勾股定理，弧長公式等知識點的應用，圓錐的側面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．