Question

若△ABC是邊長為6的等邊三角形，點F是△ABC的重心，連接AF延長至點E，交BC于D，CF∥BE，則四邊形BECF的周長為

8

3

．

Answer 1

分析：根據等邊三角形的性質可知外心，重心，垂心三心合一；且內角均為60°；根據勾股定理可求出AD的長，利用重心的性質可求出DF的長，再證明四邊形BECF是菱形即可求出其周長．

解答：解：∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，點F是△ABC的重心，
∴AB=BC=6，AD⊥BC，
∴BD=CD=

1

2

BC=3，
∴AD=

AB2 -BD2

=3

3

，
∴FD=

1

3

AD=

3

，
∵AD⊥BC，BD=CD，
∴BF=CF，BE=CE，
∴∠BEF=∠CEF，
∵CF∥BE，
∴∠CFE=∠BEF，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE，
∴BE=CE=CF=BF，
∴四邊形BECF是菱形，
∵BD=3，DF=

3

，
∴BF=

DB2+DF2

=2

3

，
∴四邊形BECF的周長是4×2

3

=8

3

．
故答案為：8

3

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質、重心的性質、勾股定理的運用以及菱形的判定和性質，題目的綜合性很強，難度不大．